นักคณิตศาสตร์ไขปัญหาในตำนาน

Ken Ono ที่ปรึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของ Mahlburg และผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับงานของ Ramanujan กล่าวว่า "โดยสังเขป [ผลงาน] นี้เป็นบทสุดท้ายของเรื่องที่มีชื่อเสียงที่สุดเรื่องหนึ่งในเรื่องราวของรามานุจัน โอโนะเป็นศาสตราจารย์ด้านอักษรศาสตร์และวิทยาศาสตร์ของมานาสในวิชาคณิตศาสตร์ “ความสำเร็จของมาห์ลเบิร์กเป็นสิ่งที่โดดเด่น” จอร์จ แอนดรูว์ ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเพนน์สเตตซึ่งทำงานอย่างลึกซึ้งกับแนวคิดของรามานุจันเห็นด้วย บิดาแห่งทฤษฎีจำนวนยุคใหม่ รามานุจันเสียชีวิตก่อนวัยอันควรในปี 2463 ขณะอายุ 32 ปี งานของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียมีมากมาย แต่เขามีชื่อเสียงเป็นพิเศษจากการสังเกตรูปแบบที่น่าสงสัยในการที่จำนวนเต็มสามารถแยกย่อยเป็นผลรวมของจำนวนที่น้อยลง หรือ " ฉากกั้นห้อง" ตัวอย่างเช่น หมายเลข 4 มีห้าพาร์ติชั่นเพราะสามารถแสดงได้ห้าวิธี ได้แก่ 4, 3+1, 2+2, 1+1+2 และ 1+1+1+1 รามานุจันซึ่งได้รับการฝึกฝนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อย ได้สร้างรายการพาร์ติชันสำหรับจำนวนเต็ม 200 ตัวแรก และสังเกตเห็นความสม่ำเสมอที่แปลกประหลาด สำหรับจำนวนใดๆ ที่ลงท้ายด้วย 4 หรือ 9 เขาพบว่าจำนวนพาร์ติชันหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ ในทำนองเดียวกัน เริ่มต้นที่ 5 จำนวนพาร์ติชันสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มที่เจ็ดจะเป็นผลคูณของ 7 และเริ่มต้นด้วย 6 พาร์ติชันสำหรับจำนวนเต็ม 11 ทุกๆ เป็นผลคูณของ 11 การค้นพบนี้เป็นเรื่องที่น่าสนใจ Richard Askey ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์กิตติมศักดิ์ซึ่งทำงานร่วมกับผลงานของ Ramanujan กล่าว "ไม่มีเหตุผลเลยที่พฤติกรรมการทวีคูณควรมีส่วนเกี่ยวข้องกับโครงสร้างเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับพาร์ติชัน" ความสัมพันธ์เชิงตัวเลขแปลกๆ ที่รามานุจันค้นพบ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า "ความสอดคล้อง" ของรามานุจันทั้งสาม สร้างความพิศวงให้กับนักทฤษฎีจำนวน ในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2 นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์คนหนึ่งชื่อ Freeman Dyson ได้เริ่มค้นหาวิธีเบื้องต้นเพิ่มเติมเพื่อพิสูจน์ความสอดคล้องกันของ Ramanujan เขาพัฒนาเครื่องมือที่เรียกว่า "อันดับ" ซึ่งทำให้เขาสามารถแบ่งพาร์ติชันของจำนวนเต็มออกเป็นกลุ่มตัวเลขที่มีขนาดเท่ากันได้ แนวคิดนี้ใช้ได้กับ 5 และ 7 แต่ไม่ได้ขยายไปถึง 11 สี่ทศวรรษต่อมา แอนดรูว์และเพื่อน นักคณิตศาสตร์ แฟรงก์ การ์วานค้นพบฟังก์ชันข้อเหวี่ยงที่เข้าใจยาก และในตอนนี้ อย่างน้อยบทที่สอดคล้องกันก็ดูเหมือนจะสมบูรณ์ แต่เหตุการณ์กลับพลิกผันในช่วงปลายยุค 90 โอโนะพบสมุดบันทึกดั้งเดิมของรามานุจัน เขาสังเกตเห็นสูตรตัวเลขที่ไม่ชัดเจนซึ่งดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับพาร์ติชัน แต่มีความเกี่ยวข้องอย่างประหลาดกับงานที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งโอโนะกำลังทำอยู่ในขณะนั้น "ฉันถูกพื้น" โอโนะเล่า หลังจากเป็นผู้นำ Ono ได้ค้นพบอย่างรวดเร็วว่าความสอดคล้องกันของพาร์ติชันไม่ได้มีอยู่เฉพาะกับจำนวนเฉพาะ 5, 7 และ 11 เท่านั้น แต่สามารถพบได้สำหรับจำนวนเฉพาะที่ใหญ่กว่าทั้งหมด เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ Ono พบการเชื่อมต่อระหว่างหมายเลขพาร์ติชันและความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษที่เรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์ แต่ตอนนี้ Ono ได้เปิดเผยความสอดคล้องกันของพาร์ติชันจำนวนนับไม่ถ้วน คำถามที่ชัดเจนก็คือข้อเหวี่ยงใช้กับทุกส่วนในระดับสากลหรือไม่ สิ่งที่โอโนะเรียกว่า "การโต้เถียงที่ชาญฉลาดอย่างน่าอัศจรรย์" มาห์ลบวร์กได้แสดงให้เห็นแล้ว Mahlburg นักศึกษาปริญญาเอกของ UW-Madison กล่าวว่าเขาใช้เวลาหนึ่งปีในการจัดการกับสูตรหรือฟังก์ชันตัวเลขที่ "น่าเกลียด ซับซ้อนอย่างน่ากลัว" ที่เกิดขึ้นเมื่อเขาใช้เครื่องมือหมุนกับจำนวนเฉพาะต่างๆ "แม้ว่าฉันจะทำงานกับกลุ่มของฟังก์ชันจำนวนมาก แต่ภายใต้พื้นผิว ฉันค่อยๆ เริ่มเห็นความเป็นหนึ่งเดียวกันระหว่างฟังก์ชันทั้งสอง" มาห์ลเบิร์กกล่าว จากผลงานของ Ono กับรูปแบบโมดูลาร์ Mahlburg พบว่าแทนที่จะแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มเท่าๆ กัน เช่น การนำเลข 115 ออกเป็นห้ากลุ่มเท่าๆ กันของ 23 (ซึ่งไม่ใช่การคูณด้วย 5) แนวคิดเรื่องความสอดคล้องกันของพาร์ติชันยังคงมีอยู่หากตัวเลขแตก ลงแตกต่างกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง 115 สามารถแยกย่อยออกเป็น 25, 25, 25, 10 และ 30 เนื่องจากแต่ละส่วนเป็นผลคูณของ 5 ผลรวมของส่วนจึงเป็นผลคูณของ 5 ด้วย Mahlburg แสดงแนวคิดที่ขยายไปถึง ทุกจำนวนเฉพาะ "นี่เป็นผลลัพธ์ที่เหลือเชื่อ" Askey กล่าว งานของ Mahlburg เสร็จสิ้นการตามล่าหาฟังก์ชั่นข้อเหวี่ยง Andrews จาก Penn State กล่าว แต่เป็นเพียง "การเริ่มต้นที่เรียบร้อย" สำหรับภารกิจในการพิสูจน์ข้อค้นพบของ Ramanujan ที่ง่ายกว่า "มาห์ลบวร์กได้แสดงให้เห็นความลึกอันยิ่งใหญ่ของบ่อน้ำแห่งหนึ่ง ซึ่งรามานุจันดึงเอาสิ่งที่น่าสนใจออกมา" แอนดรูว์กล่าวเสริม "แต่ก็ยังมีอีกหลายหลุมที่เราไม่เข้าใจ"